Оценки математического ожидания и дисперсии, их свойства. Примеры.

Оценки математического ожидания

Пусть имеется случайная величина Х с математическим ожиданием m и дисперсией D, при этом оба эти параметра неизвестны. Над величиной Х произведено N независимых экспериментов, в результате которых была получена совокупность N численных результатов x₁, x₂, …, x_N. В качестве оценки математического ожидания естественно предложить среднее арифметическое наблюдаемых значений

(1)

Здесь в качестве x_i рассматриваются конкретные значения (числа), полученные в результате N экспериментов. Если взять другие (независимые от предыдущих) N экспериментов, то, очевидно, мы получим другое значение . Если взять еще N экспериментов, то мы получим еще одно новое значение . Обозначим через X_i случайную величину, являющуюся результатом i-го эксперимента, тогда реализациями X_i будут числа, полученные в результате этих экспериментов. Очевидно, что случайная величина X_i будет иметь такую же плотность распределения вероятности, что и исходная случайная величина Х. Также считаем, что случайные величины X_i и X_j являются независимыми при i, не равном j (различные независимые друг относительно друга эксперименты). Поэтому формулу (1) перепишем в другом (статистическом) виде:

(2)

Покажем, что оценка является несмещенной:

Таким образом, математическое ожидание выборочного среднего  равно истинному математическому ожиданию случайной величины m. Это достаточно предсказуемый и понятный факт. Следовательно, за оценку математического ожидания случайной величины можно принять выборочное среднее (2). Теперь возникает вопрос: что происходит с дисперсией оценки математического ожидания при увеличении числа экспериментов? Аналитические вычисления показывают, что

,

где  - дисперсия оценки математического ожидания (2), а D - истинная дисперсия случайной величины X.

Из вышесказанного следует, что с ростом N (количества экспериментов) дисперсия оценки уменьшается, т.е. чем больше мы суммируем независимые реализации, тем ближе к математическому ожиданию мы получим оценку.

Оценки математического дисперсии

На первый взгляд наиболее естественной оценкой представляется

(3)

где  вычисляется по формуле (2). Проверим, является ли оценка  несмещенной. Формула (3) может быть записана следующим образом [1]:

.

Подставим в эту формулу выражение (2):

Найдем математическое ожидание оценки дисперсии:

(4)

Так как дисперсия случайной величины не зависит от того, какое математическое ожидание у случайной величины, примем математическое ожидание равным 0, т.е. m = 0.

Тогда

	(5)
при .	(6)

Последнее равенство следует из того, что эксперименты независимы, а математическое ожидание случайной величины в каждом эксперименте равно 0. Подставляя (5) и (6) в (4), получим:

Отсюда следует, что оценка  не является несмещенной - ее математическое ожидание равно не D, а несколько меньше. Пользуясь оценкой  вместо дисперсии D, мы получим систематическую ошибку. Чтобы ликвидировать это смещение, достаточно ввести поправку, умножив величину  на (N-1)/N. Такую исправленную статистическую дисперсию мы и выберем в качестве оценки:

Таким образом, если в результате N экспериментов мы располагаем набором N значений случайной величины

x₁, x₂, …, x_N,

то для оценок математического ожидания и дисперсии необходимо воспользоваться следующими формулами: